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Consigliamo Da Zero a Gödel di Francesco Berto
INTRODUZIONE
Provare a vedere il teorema di Gödel come una grande “sinfonia” è una delle diverse sfide del libro di Francesco Berto. Le perplessità per la metafora musicale cadono una volta che ci si addentra nella lettura: l’insieme di nozioni richieste per comprendere la dimostrazione dei teoremi di Gödel è quanto mai varia e spazia da una minima conoscenza della storia della filosofia della matematica, alla conoscenza della logica elementare fino alla teoria degli insiemi. La diversità delle competenze che il libro intende fornire, è paragonabile ai vari temi armonici e agli strumenti musicali richiesti per suonare una sinfonia: «[…] impareremo molte cose molto in fretta. Alcune di esse potrebbero sembrare slegate l’una dall’altra, e anche la loro utilità potrebbe non essere inizialmente chiara. In realtà, tutte sono connesse in vario modo all’interno della sinfonia di Gödel». (p.5)
Lo scopo dell’autore è quello di prendere per mano il lettore e riuscire a tracciargli la strada fino alla comprensione della dimostrazione dei due teoremi, il sesto e l’undicesimo, più noti come il primo e il secondo teorema di Gödel. Questo è il primo degli intenti, il secondo è quello di sorvolare le varie ricadute che tale dimostrazione ha avuto nei diversi campi del sapere. Lo scopo generale è sintetizzato da Berto stesso: «In questo libro, oltre a spiegare che cos’è il Teorema di Incompletezza, vorrei dire qualcosa sul fenomeno extramatematico che ha prodotto». (p. X)
CAPITOLI DEL LIBRO
Nel capitolo primo, Berto introduce l’insieme di nozioni e problemi che hanno preceduto la riflessione di Gödel e i suoi teoremi. Si parte dalla definizione di paradosso e si chiarisce la distinzione tra paradossi logici e semantici, una necessità, questa, giacché vien detto che Gödel rasenti il paradosso senza cadervi, come già risulta dallo stesso titolo del secondo paragrafo «Il mentitore e Gödel (ma il mentitore non è Gödel)», ciò a differenza di Frege prima e Russell poi. In poche parole, Berto passa in rassegna le basi per rendere intellegibile la successiva analisi. Berto poi passa ad analizzare da un lato la storia della teoria degli insiemi e dall’altro tutti i problemi che essa ha sollevato. Questo capitolo svolge il ruolo duplice di ricostruire il passato remoto del Teorema di Gödel e quello di introdurre il lettore agli stessi problemi elaborati sino al saggio del ’31. Un momento centrale dal punto di vista storico e di concettualizzazione fu il tentativo di Peano di «[…] aritmetizzazione dell’analisi, che faceva capo alla possibilità di ricondurre le branche superiori della matematica all’aritmetica elementare, ossia alla teoria dei numeri naturali». (p.17) Questo tentativo, destinato a rimanere un punto acquisito nella seguente discussione, fu oggetto di ulteriore disputa da parte dei logicisti, Frege e Russell, che tentarono di ridurre l’intera matematica alla teoria degli insiemi. Frege e Russell partirono entrambi dall’idea che la matematica fosse riducibile alla logica e, in particolare, la nozione di numero all’equinumerosità degli insiemi. Esauriti i preamboli esplicativi delle nozioni basilari della teoria degli insiemi, Berto introduce anche le nozioni imprescindibili di proprietà, relazione e funzione. Questo gli consente di procedere nella spiegazione minimale del concetto di computabilità effettiva e di algoritmo. Ciò è dovuto non solo al fatto che tra i vari importanti risultati delle analisi di Gödel ci fu l’enumerazione di quarantacinque funzioni ricorsive primitive ma anche per l’importanza giocata da tali funzioni all’interno della dimostrazione stessa del Teorema. Inoltre, questa spiegazione risulterà utile per meglio comprendere le discussioni più filosofiche presenti nella seconda parte del libro.
Il secondo capitolo è dedicato interamente al programma formalista del grande logico e matematico David Hilbert. Anche in questo capitolo Berto si muove tra storia della logica e analisi concettuale. Si insiste sul progetto di formalizzazione di Hilbert, i cui concetti cardine presentati nel libro sono la finitarietà delle procedure d’analisi e l’idea che ogni problema matematico possa essere risolto. Anche questo programma si rivelerà inadeguato, ma ciò sarà mostrato dallo stesso Gödel che si considerava a sua volta un formalista. Nel paragrafo terzo, Berto propone il primo vero approccio al teorema, quello che Gödel aveva proposto in apertura del suo articolo come introduzione discorsiva alla prova sintattica. Un punto, questo, su cui Berto insiste molto. «[…] dovremmo abituarci (…) a “vedere le cose tipograficamente”, ossia a considerare spesso il nostro sistema con occhi puramente sintattici – con gli occhi, insomma, di un formalista che fa teoria della dimostrazione». (p. 65) Già qui l’autore parla di Wittgenstein e delle sue considerazioni intorno al Teorema, un tema che possiamo considerare centrale, perché sempre presente agli occhi di Berto, a cui verrà dedicato un capitolo a sé. Gödel svolge le sue dimostrazioni da un punto di vista puramente sintattico, cioè non tenendo conto di cosa un sistema formale ci dice, ma di come lo dice. Sono le regole della sintassi del linguaggio che conducono direttamente alla dimostrazione del teorema, non il significato degli enunciati. Infatti, uno dei punti del programma di Hilbert era proprio quello di tener separata la semantica dalla sintassi dei sistemi formali. Di conseguenza, le nozioni di verità e significato erano al di fuori di questa dimensione puramente formale: la sola prova semantica del teorema di Gödel non sarebbe bastata a scardinare il programma di Hilbert, ma una prova sintattica sì. Ed è quello che Gödel fa. Berto sin da subito sottolinea l’importanza di tenere separata la “prova dalla prosa”. La distinzione è resa importante per via del fatto che taluni lettori si siano lasciati fuorviare da questa prima presentazione e si adombra il sospetto che Wittgenstein ritenesse che Gödel confondesse l’analisi filosofica e la logica e matematica, cosa che, a suo modo di vedere, doveva assolutamente essere evitata. L’analisi del pensiero di Wittgenstein è accostata in contrappunto con l’impostazione platonista in filosofia della matematica di Gödel della quale riparleremo anche più avanti, nella discussione critica del libro, perché è uno dei temi più interessanti e suggestivi dell’intero lavoro di Berto.
Nel capitolo terzo Berto spiega con precisione il procedimento fondamentale utilizzato da Gödel nella sua dimostrazione, vale a dire la gödelizzazione. Prima di giungere alla sua descrizione, l’autore introduce il sistema formale su cui si incentrerà l’analisi e da cui si vedranno tutte le sue chiare conseguenze, vale a dire l’Aritmetica Tipografica (termine coniato da Hofstadter e ripreso da Berto). Tale sistema formale consente di esprimere l’intera aritmetica. Il linguaggio formale dell’AT è descritto interamente da Berto senza, peraltro, eccedere in particolari irrilevanti: ogni riferimento ad altri testi rimanda e assiste il lettore interessato alla cospicua bibliografia il che consente di procedere nell’analisi essenziale senza perdersi nei meandri delle sottigliezze, osservazione valida per tutto il libro. A seguito dell’introduzione dell’AT e della spiegazione del suo funzionamento e capacità espressive, Berto passa a considerare la gödelizzazione. Per dirla con le sue stesse parole: «Una volta specificato il sistema formale in gioco, Gödel produsse la sua prima mossa geniale: l’introduzione di quella che oggi chiamiamo, in suo onore, gödelizzazione, o numerazione di Gödel» (p. 73). L’idea è abbastanza semplice, sebbene assai difficile da escogitare. Un sistema formale impiantato su un linguaggio formale ha una serie di assiomi, simboli e teoremi. Attraverso un procedimento matematico (che Berto spiega nell’essenziale) si può associare a ogni simbolo del linguaggio un numero primo in modo che la moltiplicazione di tutti i numeri dei simboli contenuti in un assioma o teorema del linguaggio ponga uno e un solo numero per ciascuna formula. Che ci sia solo un numero per ogni formula diversa è garantito dal teorema fondamentale dell’aritmetica. Il numero associato alla formula è detto “gödeliano”. Come risulterà evidente, ancor più dalla lettura sistematica del libro, questo procedimento matematico consente ad un sistema formale come l’AT, strutturato per esprimere solo verità matematiche, di parlare anche di se stesso. Come possano costruirsi degli enunciati autoreferenziali è uno dei punti nodali dell’intero lavoro di Gödel. Sarà proprio attraverso la gödelizzazione che sarà possibile arrivare alla conclusione dei sogni ottimistici dei formalisti e non solo.
Il quarto capitolo tratta dell’aritmetica ricorsiva fino alla tesi di Church, secondo cui tutte le funzioni effettivamente calcolabili sono ricorsive (p. 89). L’analisi prosegue nella spiegazione del perché essa sia a tutti gli effetti una tesi, cioè non il risultato di una dimostrazione. L’ultimo paragrafo del capitolo ricollega l’aritmetica ricorsiva alle nozioni di insiemistica, precisando la relazione tra funzioni e insiemi.
Il quinto capitolo riprende le nozioni fondamentali espresse nelle sezioni precedenti per arrivare a esprimere il circolo gödeliano. Se nel capitolo quarto, come abbiamo visto, Berto enuncia la relazione tra funzioni e insiemi e come poter esprimere funzioni con insiemi e viceversa, adesso è necessario spiegare come ciò sia rappresentabile all’interno dell’AT. Ancora una volta, la questione fondamentale è trattare in termini rigorosamente sintattici ciò che generalmente riusciamo a intuire solo facendo ricorso a nozioni semantiche. La trattazione di Berto in questo paragrafo è piuttosto tecnica e, di fatti, nel capitolo tutta l’attenzione è rivolta a mostrare le capacità espressive dell’AT. Una volta risolto questo problema, Berto arriva alla fine del capitolo all’esplicazione del circolo gödeliano:
la sintassi dell’AT è aritmetizzata mediante la gödelizzazione: si associano numeri alle espressioni dell’AT, e si fanno corrispondere concetti aritmetici a concetti sintattici e le nozioni sintattiche fondamentali, come quelle di assioma, dimostrazione, ecc.,sono associate a nozioni aritmetiche decidibili, ossia ricorsive e siccome l’AT rappresenta le funzioni-relazioni ricorsive può rappresentare la sintassi dell’AT. (p.101).
Questo è uno dei punti nodali dell’intero Teorema e, per ciò, Berto v’insiste a lungo anche perché si tratta di uno dei passi più tecnici insieme alla costruzione dell’enunciato γ. La spiegazione, sebbene tecnica, mantiene l’uso di uno “stile narrativo” il più possibile leggero grazie al quale Berto riesce a mantenere contenuto il livello di pesantezza della spiegazione, un punto del quale avremo modo di parlare più diffusamente più avanti.
Il sesto capitolo descrive la produzione di questo enunciato, che in sostanza può essere espresso informalmente come il titolo stesso del capitolo: «Io non sono dimostrabile» (p.104). Come Berto aveva fatto osservare, ciò che Gödel fa è dimostrare l’incoerenza e l’incompletezza di sistemi formali simili a quelli proposti da Russell e Whitehead [1910-1913], simili nel senso che Gödel si attiene a sistemi formali più deboli, cioè meno espressivi di quello proposto da Russell. Inoltre, bisogna ricordarsi delle esigenze fissate dai formalisti per le analisi dei sistemi formali: esse devono essere finitarie e devono fondarsi esclusivamente su proprietà sintattiche, formali senza fare appello a nozioni semantiche ulteriori. L’analisi di Gödel si impernia sul fatto che esiste almeno un enunciato γ tale che esso non sia decidibile all’interno dell’AT. Tale enunciato è costruito in modo tale che esso dica di se stesso di non essere dimostrabile e il problema maggiore consiste nel riuscire a costruire un enunciato dell’AT che si possa riferire a se stesso: ecco che risuona il vecchio paradosso del mentitore. Come Berto stesso aveva anticipato, sebbene Gödel sembri finire all’interno di un paradosso, in realtà, non ci ricade. Per usare le parole dello stesso Gödel [1931] riportate nel libro:
Contrariamente a ciò che può apparire, una tale proposizione non comporta nessun circolo vizioso, perché all’inizio essa afferma soltanto che una certa formula ben definita (cioè quella ottenuta […] mediante una certa sostituzione) è indimostrabile. Solo dopo (e, per così dire, per caso) risulta che questa formula è proprio quella con la quale era stata espressa la proposizione stessa. (p.111)
La produzione di enunciati autoreferenziali come γ è già espressa in generale nel capitolo precedente, sebbene, in quella circostanza si parlava in generale del circolo gödeliano. La possibilità di costruire un enunciato autoreferenziale è fondata su un procedimento che: «(…) è un caso particolare di una strategia più generale, che presuppone l’aritmetizzazione della sintassi, e che ha avuto un uso assai ampio in logica proprio a partire dal lavoro di Gödel. La si chiama di solito diagonalizzazione (…)». (p.114) Dopo aver introdotto ancora un’altra nozione rilevante, quella di omega-coerenza, resa necessaria dal fatto che bisognava sostituire la nozione semantica di correttezza con una più debole e sintattica, il lettore arriva alla dimostrazione del cosiddetto primo Teorema, in realtà, il sesto nell’articolo originale. Il Teorema consiste nella formulazione formale dell’indimostrabilità dell’enunciato γ nell’AT: «(G1a) Se l’Aritmetica Tipografica è coerente, allora γ non vi è dimostrabile NON teoremaAT γ. (G1b) Se l’Aritmetica Tipografica è omega-coerente, allora ¬γ non vi è dimostrabile. NONTEOREMAAT ¬γ» (p.118). Il punto è che nell’AT c’è almeno un enunciato, cioè γ, che è indecidibile, cioè né γ né la sua negazione sono dimostrabili all’interno dell’AT. La conseguenza di questo, cioè di un sistema formale che non dimostra una formula del linguaggio su cui è impiantato né la sua negazione, è che tale sistema formale è sintatticamente incompleto. Gödel prese in considerazione una forma di coerenza molto forte, cioè l’omega-coerenza e dimostrò il suo Teorema attraverso di essa. Tuttavia, è possibile dimostrare la validità dell’argomento gödeliano anche con un’assunzione più debole, riferita alla sola coerenza semplice e la variante fu elaborata da Barkeley Rosser nel 1936.
Il settimo capitolo passa al secondo Teorema di Gödel e ai suoi immediati risultati, quelli propriamente inerenti all’ambito logico-matematico piuttosto che filosofici, lasciati alla trattazione nella seconda parte del libro. Il secondo Teorema è, in realtà, un corollario del primo poiché ne è conseguenza. L’undicesimo teorema di Gödel sostiene che se l’Aritmetica Tipografica è coerente, allora non è possibile dimostrarlo all’interno dell’AT stessa. La dimostrazione, essendo un corollario, è molto più breve della prima e si fonda sulla possibilità di avere un enunciato del sistema formale in questione che possa esprimere la coerenza dell’AT. Ciò che Gödel dimostra è proprio che tale enunciato non può essere dimostrato dallo stesso sistema formale. Le conseguenze immediate, per così dire, dei due teoremi: «cose che ne seguono in modo piuttosto diretto, e su cui i logici matematici sono abbastanza d’accordo (alcune di esse sono pur state contestate da certi filosofi della matematica e della logica: d’altronde, i filosofi disputano su qualsiasi cosa)». (p.127) La prospettiva hilbertiana, formalista e finitista, viene ridiscussa e attaccata dall’interno per opera del secondo Teorema di Gödel, più ancora che dal primo. Altre conseguenze immediate sono la definizione di ciò che è indecidibile: «Non bisogna confondere (a) l’indecidibilità come proprietà di una formula, con (b) l’indecidibilità come proprietà di un sistema formale» (p.129) da cui segue l’analisi dei due significati distinti. Ciò che, però, risalta nell’analisi di Berto sui “risultati non controversi” dei due Teoremi di Gödel è la considerazione che qualunque sistema formale che sia costituito dagli stessi assiomi e teoremi aggiungendovi l’enunciato γ, cioè sommandolo al numero degli assiomi (essendo esso indimostrabile) è ancora incompleto perché si può ancora costruire un nuovo enunciato indimostrabile e così via, per ciascun sistema formale che assommi a sé, nel novero dei suoi assiomi, tutti i vari enunciati indimostrabili: si potrà sempre costruirne uno nuovo e sempre con il medesimo procedimento. Questo fatto ha la conseguenza di non consentire la dimostrazione di ogni enunciato matematico mediante procedimenti finitari à la Hilbert e formalisti, il che implica la non esauribilità del lavoro dei matematici. Se così non fosse, come riassume Berto con la sua consueta e intelligente ironia che è un vero punto di forza del libro: «Avendo calcolatori sufficientemente potenti, in breve non ci sarebbero più problemi aperti per l’aritmetica, e il sogno di Hillbert si trasformerebbe nell’incubo della disoccupazione per molti working mathematicians. In questo senso, l’incompletezza essenziale dell’AT è il Miglior Sindacato a tutela del diritto al lavoro dei matematici!». (p.133) Al lettore il compito di scoprire ciò che qui è necessariamente sorvolato.
La seconda parte del libro tratta dei risultati “non immediati” che discendono dal Teorema di Gödel ed è anche, come cercheremo di dimostrare nella parte critica della recensione, il vertice della qualità del lavoro di Berto, ammesso e non concesso che ci siano parti meno riuscite. Dopo quattro capitoli molto tecnici, Berto inizia la seconda parte con uno dal titolo ironico e accattivante: «Buttarla in politica: le interpretazioni postmoderne». (p.155) Nell’incipit si possono ritrovare delle idee genuinamente bertiane da cui è difficile dissentire in merito alla pertinenza di alcuni interventi di filosofi in ambiti non strettamente filosofici e tratteggiati non senza un po’ di levità: un tratto distintivo, quello dell’ironia, che riaffiora ogni qualvolta sia possibile, un punto di grande forza dello stile bertiano che ne risulta realmente distinto e inconfondibile da altri lavori simili in materia. Il punto è che in molti ambiti della scienza contemporanea, l’aspetto tecnico e specialistico è imprescindibile non solo per comprendere i risultati ma anche per potersi esprimere con cognizione di causa: un esempio, in questa direzione, è lo stesso dibattito sorto attorno alle analisi di Gödel. Berto tratta delle posizioni più impensabili, con l’ironia e il rigore a cui ci ha abituati, che ruotano attorno ai risultati di Gödel in modo discutibile. Modo discutibile per via del fatto che tali posizioni non tengono sufficientemente conto del campo in cui i Teoremi hanno effettivamente qualcosa da dire.
Nel capitolo nono Berto discute del platonismo di Gödel in filosofia della matematica e del motivo per cui il grande logico considerasse la sua prova, in una certa misura, una conferma della verità del platonismo. Il capitolo è molto interessante anche per ragioni di carattere trasversale: essendo un testo introduttivo di un ambito disciplinare accessibile, per lo più, ai soli specialisti, è utile per i non addetti ai lavori conoscere i pregiudizi filosofici intorno a varie posizioni di filosofia della matematica e apprendere come tali posizioni abbiano influenzato in vario modo la condotta accademica e la ricerca di alcuni pensatori. In particolare, è interessante sapere che Gödel fosse un convinto sostenitore del platonismo in filosofia della matematica, sebbene si sia limitato solo in poche circostanze a rendere pubblica la propria posizione filosofica, anche per via del peso che aveva in quegli anni il circolo di Vienna: «Insomma, il giovane sconosciuto di ventitré anni che dimostrò il Teorema Più Importante di Tutti era circondato da matematici e filosofi che, intorno alla natura dei numeri, non la pensavano come lui. Così tenne per sé le proprie convinzioni profonde: non era come loro, ma loro non se ne accorsero». (p.176) Ma ciò che è veramente rilevante, un’anticipazione, questa, è che molti attribuirono la “prudenza” filosofica del grande logico proprio al fatto che fosse un platonista in filosofia della matematica. In altre parole, se Gödel non ha proseguito in tutti gli ambiti che egli stesso aveva aperto e che avrebbe potuto sviluppare in maniera più approfondita, fu proprio per ragioni squisitamente filosofiche. Quest’idea non sembra esser priva di ideologia, e, non a caso, Berto dedica un intero paragrafo a tratteggiare i «pregiudizi ideologici della nostra epoca». (p.179) Uno dei casi in cui Gödel avrebbe potuto, ma non ha fatto, proseguire nello sviluppo delle conseguenze del suo teorema, è il teorema di Tarsky di indefinibilità della verità. Lo stesso Tarsky ammise che la prova per il suo teorema, considerato da egli stesso la scoperta più importante della sua ricerca, fosse strettamente dipendente dal Teorema di Gödel. Stesse considerazioni potrebbero esser fatte per la teoria della ricorsività di cui Gödel è considerato uno dei padri. Non fu Gödel stesso ad essere accusato di queste mancanze, ma la sua visione filosofica.
Il decimo capitolo è l’analisi delle conseguenze dei teoremi in filosofia della matematica e costituisce un intero ripensamento sulla filosofia della matematica in generale dopo il Teorema di Gödel. In particolare, Berto tratta delle interpretazioni scettiche del Teorema, usate a difesa di visioni anti-fondazionaliste in filosofia della matematica. L’idea è, dunque, che i risultati di Gödel assicurino non solo il “lavoro ai matematici” ma rendano a priori impossibile formalizzare interamente la matematica, cioè quella disciplina che per la filosofia, dai pensatori antichi a quelli moderni, fu l’immagine stessa della certezza raggiungibile dall’uomo. Il punto è anche più sottile: Russell e Frege, in fondo, insieme a Hilbert, fondavano le loro ricerche logiche e filosofiche sull’idea che la matematica fosse un sistema coerente interamente formalizzabile. Quest’idea è debitrice della storia della filosofia precedente il cui massimo modello di certezza era rappresentato dalla perfezione della matematica. Il punto è che dopo Gödel quest’immagine ottimistica e idilliaca viene a cadere. Le conseguenze sono anche di maggiore portata se si pensa che il Teorema non si applica solo alla matematica ma anche ad ogni argomentazione deduttiva formalmente definita in modo rigoroso e sufficientemente articolato. Per riportare le parole di Nagel e Newman [1958] citate da Berto: «[Gödel] dimostrò che è impossibile stabilire la coerenza logica interna di una classe molto ampia di sistemi deduttivi – della teoria dei numeri, ad esempio – a meno di adottare principi di ragionamento così complessi che la loro coerenza interna è aperta al dubbio tanto quanto quella dei sistemi stessi» (p.195). Lo stesso ZFC, sistema formale sufficientemente potente da fornire all’incirca tutte le dimostrazioni dell’odierna matematica, cade sotto quella che Berto chiama la «scure gödeliana».
Il capitolo 11 riguarda i vari utilizzi del Teorema di Gödel in filosofia della mente. I risultati del logico sono rilevanti sia partendo dalla teoria della computabilità effettiva che dal punto di vista dei limiti della calcolabilità delle macchine di Turing. In effetti, il Teorema è stato spesso usato da chi intendeva dimostrare che la mente umana non è una macchina di Turing universale o, quantomeno, non solo. Ci sono autori illustri che hanno sostenuto questa tesi, uno tra tutti, Roger Penrose [1989] in La mente nuova dell’imperatore. Il nucleo fondamentale di questa posizione risiede nell’idea che la mente umana possa risolvere problemi di natura matematica perché ne vede “verità” là dove la computazione pura non arriverebbe: la mente umana non è solamente una macchina di Turing universale ed è capace di andare oltre il puro e semplice livello algoritmico. Tuttavia, questa posizione risulta più affascinante che coerente e questo è stato criticato da vari autori. I dubbi persistono anche dopo la rielaborazione del problema da parte di Penrose [1994] nell’opera successiva: Shadows of the Mind. Particolarmente brillante risulta il paragrafo 5, in cui Berto riporta le autorevoli opinioni di Gödel stesso il quale, a ben vedere, fu come sempre molto cauto. La conclusione può essere riassunta così: «[…]o la mente ha davvero una natura non algoritmica e non meccanizzabile, oppure se la mente umana è effettivamente (equivalente a) una macchina di Turing, allora ci sono enunciati aritmetici assolutamente indecidibili» (p.222) e proseguendo: «[…] se la mente è una macchina è tale che non può “comprendere interamente il proprio funzionamento”» (ibidem). In conclusione, riportiamo le parole di Benacerraf [1967]:
«Se io sono una macchina di Turing, allora la mia natura mi impedisce di obbedire alla profonda ingiunzione filosofica di Socrate: CONOSCI TE STESSO». (p.222)
Il dodicesimo capitolo, come abbiamo accennato, presenta il dialogo tra Wittgenstein e Gödel. Di fatto, non si può dire che tra i due ci fosse accordo, né sul piano umano né su quello filosofico. Inoltre, si può discutere sul fatto che Wittgenstein avesse effettivamente compreso il Teorema e non si fosse fatto influenzare dalla già citata prova semantica. Comunque sia, è certo che i due la vedessero diversamente su molti argomenti in particolare in filosofia della matematica. Berto cerca di mostrare le relazioni non solo tra Gödel e Wittgenstein, ma, soprattutto, di mettere in accordo le intuizioni del filosofo viennese con le attuali posizioni di matematica paraconsistente sostenendo che il “più grande filosofo del secolo scorso” abbia anticipato molti dei temi sviluppati dagli studiosi in tempi recenti. In particolare, alla base di questa interpretazione, sta la celebre frase di Wittgenstein [1956]:
11.Supponiamo che io provi che P non può essere provata (nel sistema di Russell): con questa prova ho provato P. Ora, se questa prova appartenesse al sistema di Russell –avrei contemporaneamente provato l’appartenenza e la non-appartenenza di questa proposizione al sistema di Russell. – Ecco che cosa capita a costruire proposizioni di questo genere. – Ma qui c’è una contraddizione! – Ebbene, sì, qui c’è una contraddizione. Nuoce a qualcuno, qui?
In fondo, è chiaro che, come osserva Berto, Wittgenstein consideri la formula gödeliana l’enunciazione di un paradosso. Comunque, da questa e da altre considerazioni, Berto prende lo spunto per accostare Wittgenstein alle matematiche che fanno a meno della legge logica dello Pseudo-scoto, secondo cui da una contraddizione segue qualsiasi cosa. Il nuovo problema consiste, naturalmente, nell’accettare la presenza delle stesse contraddizioni.
L’Epilogo, posto a chiusura del libro, è una breve considerazione generale che chiude sull’intrinseca “paradossalità”, in senso vago, del “Teorema Più Importante di Tutti” di Gödel.
2. TRA DIVULGAZIONE E SCIENZA: SCOPO E STILE
Il lettore ideale del libro non è solo l’inesperto interessato a comprendere una delle più importanti dimostrazioni di metamatematica, ma anche chi voglia curiosare nei vari temi in cui il Teorema è stato chiamato in causa: «Qui mostro come alcuni usi del Teorema in contesti extramatematici siano fuori luogo e sorgano da buffi fraintendimenti del risultato di Gödel, mentre altri sono molto interessanti ed evidenziano la sua straordinaria fecondità». (p. xi).
Tutti pazzi per Gödel è un libro di logica e filosofia ma è difficile definire con maggiore precisione il suo ambito e ciò per almeno due ragioni fondamentali. In primo luogo, non si tratta di un manuale di logica in senso stretto, cioè che si pone come obiettivo l’insegnamento di nozioni fondamentali della disciplina. Bene inteso: il libro fornisce tutte e sole istruzioni fondamentali necessarie per riuscire a comprendere i risultati di Gödel da un punto di vista puramente formale. Questa natura parzialmente manualistica è concentrata nei capitoli in cui Berto spiega i teoremi di Gödel. In secondo luogo, il libro è diviso in due parti in cui la seconda tratta argomenti distanti sebbene accomunati dalla centralità del Teorema di Gödel. Questa seconda parte si accosta di più ad ambiti di ricerca di filosofia della matematica e filosofia della mente di stampo analitico, con richiami all’Intelligenza Artificiale. E questi non sono i soli ambiti considerati. Inoltre, il tratto tipico del libro è la sua natura rigorosa ma, al contempo, fruibile che si accosta, per quanto possibile, a un filone divulgativo.
Berto cerca di fare una sintesi di due esigenze: riuscire a essere rigorosi senza che questo vada a discapito di una piacevole fruizione del contenuto propriamente inteso. Esso è il giusto proseguo di un libro precedente dello stesso autore, Logica da zero a Gödel, in cui Berto prepara il terreno, per così dire, per il passo successivo, affrontato nel presente volume. Tuttavia, più che rifarsi al lavoro precedente, Berto si richiama a diversi autori con i quali condivide la generale aspirazione di rendere intelligibile una difficile dimostrazione di metamatematica. In particolare egli è in linea con l’ottimo e giustamente celebre lavoro Gödel, Escher e Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, nel quale Hofstadter cerca di sviluppare tutte le varie implicazioni del Teorema di Gödel e, contemporaneamente, di fornire una gradevole alla lettura sia per lo specialista che per il semplice fruitore ingenuo.
Per quanto riguarda la seconda parte del libro, Berto afferma che essa «è influenzata da un libro di Torkel Franzén il cui titolo, tradotto, suona: Il teorema di Gödel: una guida al suo uso e abuso». (p. xi). In realtà, i richiami alla vasta letteratura, logica e non solo, sull’argomento sono numerosi ma hanno il pregio di essere in molti casi note per l’approfondimento di questioni tecniche lasciate in sospeso, senza che questo appesantisca la lettura, come già segnalato in precedenza. Per rendere più chiaro questo punto, è necessario spendere qualche parole riguardo allo stile del libro.
Non siamo di fronte ad una semplice riproposizione della dimostrazione formale dei risultati di Gödel. Com’è stato detto, il libro si propone di essere una sinfonia e, in qualche modo, ciò si traspone abbastanza bene anche nello stile adottato. Oltrepassare e forzare la metafora musicale può risultare fuorviante, ma va detto che è assai raro trovare in un libro di logica spazio per un uso del linguaggio non strettamente convenzionale, talvolta addirittura colloquiale.
Non è possibile rispondere in maniera semplice alla domanda se l’autore sia riuscito o meno a raggiungere pienamente lo scopo. Il lavoro si prefigge di ottenere almeno tre risultati ben distinti. La prima è riuscire a spiegare con chiarezza e, col minimo delle nozioni possibili, la dimostrazione formale dei due teoremi di Gödel. La seconda è addentrarsi nell’intricato coacervo di riflessioni, spesso fuorvianti, non solo di logica, che hanno preso le mosse dai risultati gödeliani. La terza è essere chiari al punto di poter essere compresi da quasi tutti. Questi tre propositi sono piuttosto indipendenti e non vengono tutti raggiunti con la stessa pienezza in ogni punto. Infatti, mentre la seconda parte centra appieno tutti e tre i parametri, la prima parte non sempre: il fatto che la dimostrazione di Gödel richieda competenze tecniche sia di matematica che di logica non si piega in ogni passo all’esigenza di massima semplicità e gradevolezza. Durante tutta la prima parte il lettore deve sempre fare uno sforzo per richiamare le nozioni indispensabili che Berto ha introdotto rapidamente. Non solo. Durante l’analisi capita di passare da nozioni presentate in modo abbastanza intuitivo a procedure tecniche che cozzano tra loro. Questo produce un po’ di disorientamento da parte di chi si sforza di comprendere la natura tecnica della dimostrazione di Gödel. Inoltre, un altro problema risiede nell’inevitabile frammentarietà del testo, già, di fatto, implicita nei punti precedenti: può risultare spiazzante la rapidità con cui Berto passa da un argomento all’altro, anche perché solo dopo molte pagine si può capire appieno il significato dei rimandi. D’altra parte, si tratta di una necessità, considerata la diversità delle nozioni richieste per comprendere appieno il lavoro di Gödel. Forse, bisognava spendere più tempo nell’analisi dei vari concetti ma una scelta del genere avrebbe, ovviamente, allungato il numero delle pagine e appesantito il carico di lavoro da parte del lettore. Infine, il lessico agevole e spesso informale risulta più efficace là dove i concetti richiedono meno proprietà formali e competenze di logica e matematica, vale a dire nella seconda parte del libro. Infatti, ancora una volta, voler rendere semplice Gödel quel tanto che basta perché sia compreso da quasi tutti senza oscurità, sembra un paradosso già in partenza. Ciò non significa che Berto vi cada ma è chiaro quali siano difficoltà nei passi più ostici.
In sintesi, la chiarezza espositiva varia in relazione con l’argomento e con le nozioni richieste per la comprensione. Berto si attiene piuttosto fedelmente non solo agli intenti prefissati al principio, con i problemi che abbiamo visto, ma anche a ciò che egli intende dimostrare, in particolare nella seconda parte del libro, dove discute le varie “strumentalizzazioni” fatte dei risultati di Gödel. Oltre al piacevole divertimento nella discussione delle tesi, in particolare quelle insospettabili, implausibili e vagamente insensate, che si richiamano al lavoro gödeliano, è lodevole e pertinente, nonché capace di impreziosire un lavoro comunque tecnico, l’ironia della quale abbiamo già diverse volte accennato. Da un punto di vista, poi, propriamente filosofico risulta particolarmente interessante l’interpretazione che Berto dà della relazione tra Gödel e il platonismo matematico: che Gödel sia arrivato ai suoi risultati grazie alla sua filosofia della matematica riscatta, almeno in parte, non solo la visione platonista in filosofia della matematica, ma pure la stessa pregnanza della filosofia: «La filosofia gode di cattiva fama presso molti uomini di scienza.» (p. 155) e, vorremmo aggiungere, presso molti matematici. Lo scetticismo intorno alla filosofia è antico e sempre trova facili argomenti per la sua difesa. Tuttavia, se Gödel non fosse stato pienamente un filosofo, forse non avrebbe raggiunto gli stessi traguardi. C’è chi sostiene che Gödel avrebbe ottenuto di più se non fosse stato un platonista e un filosofo ma Berto non è di questo avviso: «Io credo che sia vero il contrario: che la filosofia sia stata l’autentica e grande molla propulsiva gödeliana». (p. 253)
Si può dire, a ragione, che il libro sia un accostamento al Teorema di Gödel da un punto di vista filosofico per un lettore che è già a sufficienza all’interno della conoscenza filosofica e della logica. I temi di riflessione filosofica sono, in realtà, pervasivi in ogni parte del libro. Già nella prima, dove Berto considera il Teorema del punto di vista della sua dimostrazione, ci sono molti spunti di carattere propriamente filosofico: indicativi in tal senso sono i vari richiami alla storia della logica, da Russell a Hilbert. D’altra parte, se gli spunti sono molti, non è possibile in un lavoro di questo genere, contenuto nella lunghezza e nell’analisi, scendere nel dettaglio in ogni passaggio e Berto preferisce selezionare i contenuti maggiormente pertinenti, ciò a ragione.
Un esempio di tema filosofico è, nella seconda parte del libro, l’analisi delle motivazioni per cui i teoremi di Gödel sono stati uno dei grandi traguardi notevoli e, in un certo senso, paradossali dell’epistemologia e che hanno costruito, o quantomeno contribuito a rafforzare, quell’immagine della post-modernità come era dell’incertezza. Non è un caso che Berto dedichi un paragrafo alla relazione tra i risultati gödeliani e certe posizioni riassunte sotto la categoria di “postmodernismo filosofico”: «[…] si ritiene che la dimostrazione di Gödel corrobori la tesi secondo cui non è concesso arrivare ad alcuna verità definitiva o incontrovertibile, mostrando che non è possibile conoscere verità matematiche definite e incontrovertibili». (p. 157) Un passo che rievoca la stessa citazione che paragona Gödel a Heisenberg. (p. ix) Ad ogni modo, questo non significa che da queste idee piuttosto lontane dall’analisi di Gödel segua tutto ciò che è stato detto. Questo Berto lo argomenta con la sua puntuale semplicità e allo stesso tempo sufficiente fermezza.
In conclusione, Tutti pazzi per Gödel è un libro interessante sia per chi sia alle prime armi nella conoscenza della logica, sia per chi voglia interessarsi al lato più propriamente filosofico. Un lavoro che voglia essere un utile strumento, ma non un semplice manuale, e si prefigga di approfondire tematiche difficili ma allo stesso tempo risultare piacevole. L’autore raggiunge in vario grado i diversi obiettivi ma tutti in modo più che soddisfacente. Questo rende lo sforzo di Berto encomiabile e, al contempo, intelligente. «E questo libro dovrebbe somigliare, per quanto possibile, al libro che avrei voluto trovare io quando, dotato solo di certe competenze logiche elementari, ho cominciato ad accostarmi al Teorema di Gödel […]». (p. xiv)
BERTO FRANCESCO
Tutti pazzi per Gödel
LATERZA
PAGINE: 270
EURO: 9,00
Giangiuseppe Pili
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